L'identité standard dans l'algèbre, la géométrie et l'arithmétique (Campus de Beaulieu)

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L'identité dite standard donne une version faible de la commutativité pour un produit de k>2 éléments. Cette identité a été mise en lumière en 1950 dans l'article célèbre par Amitsur et Levitzki qui ont montré que l'algèbre de matrices carrées de taille n est faiblement commutative pour k=2n. Dans les années 1970, plusieurs personnes ont trouvé cette identité dans le contexte de la géométrie différentielle, plus précisément en regardant l'algèbre de Lie de champs de vecteur sur une variété lisse. L'année dernière j'ai trouvé deux autres situations surprenantes ou l'identité standard apparaît : les crochets de Rankin-Cohen, d'origine dans la théorie des formes modulaires, et les opérations bilinéaires utilisées dans les formules de Kontsevich de la quantification par déformation. Dans cet exposé, je vais donner une introduction très accessible à tous ces résultats.