Groupe de travail "applications des mathématiques"

Approximation of PDE solutions with nonlinear parametric models: 
Application to high-dimensional advection-diffusion equations

 Mercredi 30 avril - Victor MICHEL-DANSAC (INRIA Nancy)

Classically, partial differential equations (PDE) solutions are approximated using linear parametric models. The objective of this talk is to give an overview of recent approximation methods using nonlinear parametric models (namely, neural networks). We start by recalling classical methods, and comparing them to neural methods, on a simple case: for the approximation of a given function. Then, we move on to PDE solutions, where classical methods (space-time and semi-discrete Galerkin) are recalled, and contrasted with their neural counterparts (physics-informed neural networks and the neural Galerkin methods). Finally, in the specific case of advection-diffusion equations, we introduce a novel neural variant of the semi-Lagrangian method.

Numerical validation and applications

Mercredi 2 avril 2025 - Elena QUEIROLO (IRMAR)

Numerical validation is a small branch of maths, but its small size not withstanding, it's not lacking in charm, or in interesting results!
In this talk, I plan on giving a brief summary of the history of validated numerics, in particular in dynamical systems, and the most popular techniques, then I will present my own research: the validation of bifurcations.
We will talk about periodic orbits, Hopf bifurcations and codimension 2 bifurcations, as well as of theoretical numerical analysis and applications in machine learning.

From differential-algebraic equations to control systems and back

Mercredi 26 mars 2025 - Yahao CHEN (INRIA Rennes)

In this talk, we study both linear and nonlinear differential-algebraic equations using geometric method. Firstly, both smooth solutions of DAEs and the problem of inconsistent initial values  will be discussed. Second, we show a novel method called explicitation which attach a class of control systems to a given DAE, then the DAE and control system can be associated  via their equivalence and geometric invariants. This method allows to use classical geometric control theory to solve some DAE problems as linearization, normal forms and finding invariants. Finally, we discuss some problems on the impulsive behavior caused by inconsistent initial value of DAEs.

MooreVariational-FEEC discretization for the quations of MagnetoHydroDynamics

Mercredi 19 mars 2025 - Valentin CARLIER (Max-Planck Institute)

We propose a new class of finite element approximations to the
compressible magnetohydrodynamics equations. Our discretizations are
built via a discrete least action principle mimicking the continuous
Euler-Poincaré principle, allowing the preservation of important
structures of the problem. We will also shortly describe the inclusion
of dissipative terms in this framework, first on their inclusion in the
continuous least principle and then on the discrete one.
The resulting semi-discrete approximations are shown to conserve the
total mass, and energy of the solutions and create entropy in the
presence of dissipative terms. In addition the divergence-free nature of
the magnetic field is preserved in a pointwise sense. Numerical
simulations are conducted, using spline finite elements (IGA), to verify
the accuracy of our approach, its ability to preserve the semi-discrete
invariants for several test problem and then test its performance on the
simulation of plasma instability in simplified tokamak geometry.
 

Des théorèmes de Cartier-Quillen-Milnor-Moore pour les algèbres Post-Hopf

Mercredi 5 février 2025 - Pierre CATOIRE (Université de Lens)

Les algèbres Post-Hopf sont apparues dans les travaux de Y.Li, Y.Sheng et R.Tang en 2022 en considérant l’algèbre enveloppante d’une algèbre Post-Lie. Il s’agit d’une structure d’algèbre de Hopf enrichie par une opération supplémentaire vérifiant des compatibilités de type Hopf. De plus, ce concept intervient dans divers domaines des mathématiques comme la géométrie différentielle, les recherches de solutions aux équations de Rota-Baxter et Yang-Baxter, en analyse numérique... Nous regarderons quelques exemples de telles applications.

Au vue de l’utilité des structures Post-Hopf, il est intéressant d’explorer ses aspects algébriques moins connus. Nous pouvons alors nous demander : « Quels peuvent-être les analogues des théorèmes de Cartier-Quillen-Milnor-Moore pour ces algèbres ? »

Pour ce faire, il faut noter que la structure associée aux primitifs d’une algèbre de Post- Hopf est une structure Post-Lie et celle associée aux éléments de type groupe est celle de Post- groupe. Nous énoncerons des versions du théorème de Cartier-Quillen-Milnor-Moore avec ou sans éléments de type groupe. Nous verrons quelques détails de la construction d’une algèbre Post-Hopf sur les algèbres enveloppantes d’algèbres Post-Lie.

 

Electroporation Ablation of Liver Tumors: Numerical Strategies for Clinical Insights

Mercredi 29 janvier 2025 - Clair POIGNARD (INRIA Bordeaux)

Liver cancers are among the most devastating cancers in the world. Even though their incidence is much lower than other carcinomas such as prostate or breast cancers, they are among the leading cancer-related death. Percutaneous ablations, such as radiofrequency ablation (RFA) or cryoablation (CrA) have shown their efficacy, in particular for HCC located far from vital structures such as biliary tree or hepatic vein. However, HCC tumors located near vital blood vessels and pancreatic cancers still suffer from a lack of efficient non surgical therapies. To overcome this therapeutic impasse, electroporation based ablations (EPAs) combined with immunotherapy hold great promises1. However these new ablation techniques are currently underused due to their technical complexity, and the lack of quantitative criteria of assessment.
In my talk I will present recent numerical strategies  to improve percutaneous tumor ablations based on electroporation. Thanks to a combination of advanced computational strategies and mathematical modeling I will show how well-designed numerical tools could be used during the ablation to help interventional radiologists in optimizing the treatments.

Quelques aspects d'analyse concernant les intégrateurs géométriques

Mercredi 9 octobre 2024 - Oscar COSSERAT (Göttingen Mathematisches Institut)

Cet exposé s'attache à expliquer avec des outils d'analyse quelques aspects du comportement en temps long des intégrateurs dits "géométriques", par exemple, les méthodes symplectiques. Je commencerai par présenter des théorèmes de Reich et Hansen fournissant des estimées sur les trajectoires discrètes dans le cas général, puis j'expliquerai comment ces résultats s'appliquent quand la dynamique que l'on cherche à discrétiser est hamiltonienne. Enfin, je mentionnerai la raison pour laquelle ces outils d'analyse justifient la recherche que je mène avec Adrien Laurent concernant des intégrateurs d'ordre élevé pour certains systèmes provenant de la mécanique conservative.

 

Algèbres post-Lie et connexions

Mercredi 14 février 2024 - Dominique MANCHON

Les algèbres post-Lie ont été introduites par B. Vallette en 2007, dans un contexte de combinatoire algébrique. Leur utilisation en analyse numérique sur des espaces homogènes a commencé dès 2008. Nous montrerons dans cet exposé comment les algèbres post-Lie jouent encore un rôle central lorsque l'espace homogène est remplacé par une variété lisse munie d'une connexion sans conditions particulières sur la courbure et la torsion. Travail commun avec Mahdi Al-Kaabi, Kurusch Ebrahimi-Frad et Hans Munthe-Kaas

Équation de Schrödinger et alentours

Mercredi 7 février 2024 - Rémi CARLES

Le but est de faire un résumé plutôt informel de questions abordées au cours de ces dernières années, en lien principalement avec l'équation de Schrödinger non linéaire, et d'évoquer des liens avec des équations de la mécanique des fluides (fluides compressibles isothermes) et de dynamiques des populations (modèle replicator-mutator). L'exposé sera au tableau, et des détails pourront être donnés sur demande.
 

Contrôlabilité en temps petit de quelques EDP bilinéaires

Mercredi 17 janvier 2024 - Eugénio POZZOLI

Cet exposé est consacré à quelques résultats récents sur la contrôlabilité globale approchée en temps petit d'équations bilinéaires des ondes et de Schrödinger. En particulier, nous verrons que pour une équation des ondes (sur un tore de dimension arbitraire) il est possible de donner une description complète de l'ensemble atteignable en temps petit. Pour l'équation de Schrödinger (sur un tore de dimension arbitraire ou sur R^n), la situation est moins bien comprise et nous pouvons seulement exhiber certaines familles d'états atteignables en temps petit. Je présenterai également l'idée principale (commune) derrière les preuves de ces résultats : cela consiste à considérer des dynamiques conjuguées en temps petit qui engendrent des directions non directement accessibles (c-à-d, des crochets de Lie des générateurs).

Le bicomplexe aromatique pour la préservation numérique de mesures

Mercredi 10 janvier 2024 - Adrien LAURENT

De nombreuses équations différentielles préservent le volume, et cette propriété se généralise naturellement pour des équations différentielles stochastiques ergodiques où une mesure est préservée. On peut créer des schémas numériques qui préservent ces mesures invariantes jusqu'à un ordre élevé, mais la création de schémas qui préservent exactement le volume/la mesure invariante est une importante question ouverte en intégration numérique géométrique, avec de nombreuses applications possibles notamment en dynamique moléculaire.
Après avoir rappelé les approches existantes basées sur les équations modifiées et les séries de Butcher, on présentera le bicomplexe aromatique, un nouvel objet algébro-géométrique inspiré du bicomplexe variationnel en calcul variationnel. L'exactitude de ce complexe permet de décrire explicitement la série de Taylor des méthodes préservant le volume. Nous utilisons cette description pour montrer que les ansatz de méthodes numériques proposés dans la littérature ne peuvent pas préserver le volume et nous proposons un nouvel ansatz basé sur des méthodes exponentielles. Si le temps le permet, on discutera finalement des possibles extensions de ce travail avec le cas d'EDO sur variétés (bicomplexe planaire/post-Lie) et d'EDS (bicomplexe exotique aromatique) pour créer des méthodes qui préservent exactement les mesures invariantes.