Groupe de travail "applications des mathématiques"

Quelques aspects d'analyse concernant les intégrateurs géométriques

Mercredi 9 octobre 2024 - Oscar COSSERAT (Göttingen Mathematisches Institut)

Cet exposé s'attache à expliquer avec des outils d'analyse quelques aspects du comportement en temps long des intégrateurs dits "géométriques", par exemple, les méthodes symplectiques. Je commencerai par présenter des théorèmes de Reich et Hansen fournissant des estimées sur les trajectoires discrètes dans le cas général, puis j'expliquerai comment ces résultats s'appliquent quand la dynamique que l'on cherche à discrétiser est hamiltonienne. Enfin, je mentionnerai la raison pour laquelle ces outils d'analyse justifient la recherche que je mène avec Adrien Laurent concernant des intégrateurs d'ordre élevé pour certains systèmes provenant de la mécanique conservative.

Algèbres post-Lie et connexions

Mercredi 14 février 2024 - Dominique MANCHON

Les algèbres post-Lie ont été introduites par B. Vallette en 2007, dans un contexte de combinatoire algébrique. Leur utilisation en analyse numérique sur des espaces homogènes a commencé dès 2008. Nous montrerons dans cet exposé comment les algèbres post-Lie jouent encore un rôle central lorsque l'espace homogène est remplacé par une variété lisse munie d'une connexion sans conditions particulières sur la courbure et la torsion. Travail commun avec Mahdi Al-Kaabi, Kurusch Ebrahimi-Frad et Hans Munthe-Kaas

Équation de Schrödinger et alentours

Mercredi 7 février 2024 - Rémi CARLES

Le but est de faire un résumé plutôt informel de questions abordées au cours de ces dernières années, en lien principalement avec l'équation de Schrödinger non linéaire, et d'évoquer des liens avec des équations de la mécanique des fluides (fluides compressibles isothermes) et de dynamiques des populations (modèle replicator-mutator). L'exposé sera au tableau, et des détails pourront être donnés sur demande.
 

Contrôlabilité en temps petit de quelques EDP bilinéaires

Mercredi 17 janvier 2024 - Eugénio POZZOLI

Cet exposé est consacré à quelques résultats récents sur la contrôlabilité globale approchée en temps petit d'équations bilinéaires des ondes et de Schrödinger. En particulier, nous verrons que pour une équation des ondes (sur un tore de dimension arbitraire) il est possible de donner une description complète de l'ensemble atteignable en temps petit. Pour l'équation de Schrödinger (sur un tore de dimension arbitraire ou sur R^n), la situation est moins bien comprise et nous pouvons seulement exhiber certaines familles d'états atteignables en temps petit. Je présenterai également l'idée principale (commune) derrière les preuves de ces résultats : cela consiste à considérer des dynamiques conjuguées en temps petit qui engendrent des directions non directement accessibles (c-à-d, des crochets de Lie des générateurs).

Le bicomplexe aromatique pour la préservation numérique de mesures

Mercredi 10 janvier 2024 - Adrien LAURENT

De nombreuses équations différentielles préservent le volume, et cette propriété se généralise naturellement pour des équations différentielles stochastiques ergodiques où une mesure est préservée. On peut créer des schémas numériques qui préservent ces mesures invariantes jusqu'à un ordre élevé, mais la création de schémas qui préservent exactement le volume/la mesure invariante est une importante question ouverte en intégration numérique géométrique, avec de nombreuses applications possibles notamment en dynamique moléculaire.
Après avoir rappelé les approches existantes basées sur les équations modifiées et les séries de Butcher, on présentera le bicomplexe aromatique, un nouvel objet algébro-géométrique inspiré du bicomplexe variationnel en calcul variationnel. L'exactitude de ce complexe permet de décrire explicitement la série de Taylor des méthodes préservant le volume. Nous utilisons cette description pour montrer que les ansatz de méthodes numériques proposés dans la littérature ne peuvent pas préserver le volume et nous proposons un nouvel ansatz basé sur des méthodes exponentielles. Si le temps le permet, on discutera finalement des possibles extensions de ce travail avec le cas d'EDO sur variétés (bicomplexe planaire/post-Lie) et d'EDS (bicomplexe exotique aromatique) pour créer des méthodes qui préservent exactement les mesures invariantes.