Une approximation elliptique du problème de Steiner

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Résumé : Parmi les premiers exemples de Gamma-convergence on a le résultat, dû à Modica et Mortola, qui établit que la fonctionnelle périmètre peut s'approximer par des fonctionnelles avec un terme de gradient au carré, et une pénalisation à double puit. Ensuite, un résultat similaire a été prouvé par Ambrosio et Tortorelli pour approximer la fonctionnelle de Mumford-Shah. Dans les deux cas, il s'agit d'une énergie singulière (concentrée sur un objet de dimension inférieure), approchée par des énergies plus classiques.  Je présenterai dans l'exposé un résultat dans le même esprit pour le problème de Steiner. Ce problème, très étudié en optimisation sur les graphes, et très dur (on peut dire qu'il est NP-hard), se résume comme suit : étant donné un nombre fini de points, les connecter par voie d'un ensemble unidimensionnel connexe de longueur minimale (pour s'entrainer : quelle est la longueur nécessaire pour connecter les 4 sommets d'un carré? la réponse est 1+\sqrt{3}). Le résultat qu'on a prouvé en dimension 2, en collaboration avec M. Bonnivard and A. Lemenant de Paris 7, ouvre la possibilité d'une approche numérique par la méthode de Fast-Marching. La difficulté consiste surtout en la prise en compte de la contrainte de connexité.