Un problème d’homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman

Résumé : On s’intéresse à un problème de contrôle optimal à horizon infini dans R^2 pour lequel on distingue deux phases, régies par des dynamiques et des coûts courants différents, séparées par une frontière oscillante. Comme pour les problèmes de contrôle optimal plus classiques, on cherchera à déterminer une équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) satisfaite par la fonction valeur. Cependant, comme les données du problèmes de contrôle sont discontinues en espace, on s’attend à trouver une équation HJB avec un hamiltonien discontinu par rapport à la variable d’espace. La question de l’unicité pour ce genre d’équation est une question difficile car la méthode classique de dédoublement des variables, pour prouver un principe de comparaison, ne s’applique pas dans ce contexte. Sous des hypothèses opportunes nous démontrerons que l’équation HJB est bien posée. Dans un second temps, nous nous intéresserons au comportement de la fonction valeur lorsque la frontière oscillante tend (d’une manière à préciser) vers une frontière droite. Plus précisément nous chercherons à déterminer l’équation effective qui régie le comportement limite de la fonction valeur quand la frontière oscillante tend vers la frontière droite. Nous présenterons les méthodes utilisées pour prouver la convergence des fonctions valeurs vers la solution d’une équation d’HJB faisant intervenir un hamiltonien ergodique à la jonction.