Quelques résultats sur les courbes principales contraintes

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Résumé : Dans cet exposé, nous considérons les courbes principales contraintes introduites par Kégl et al. (2000) : étant donné une variable aléatoire X telle que E[|X|²] < 1, on cherche une fonction continue f : [0,1] -> R^d minimisant sous contrainte de longueur la quantité
Delta(f) = E[d(X, f(t))²], où d désigne la distance euclidienne à un ensemble. Ce problème peut également être vu comme une version du problème de distance moyenne étudié au sein de la communauté du calcul des variations (Buttazzo and Stepanov (2003), Buttazzo et al. (2002)).

Nous nous intéresserons aux propriétés théoriques satisfaites par une courbe principale de longueur au plus L, associée à une loi de probabilité qui n’est pas à support dans l’image d’une courbe de longueur L.

Dans un contexte statistique, on peut chercher à construire à partir d’observations X1, ..., Xn une courbe principale empirique minimisant un critère de la forme Delta_
n(f) = (d(X_1, Im(f))² + ... + d(X_n, Im(f))²) / n. Soit g : [0, 1] -> R^d une courbe de longueur L(g) <= Lambda < Infini, telle que |g'(t)| = L(g) dt−p.p., et vérifiant L(g) = H^1(Im g), où H^1 désigne la mesure de Hausdorff de dimension 1. Pour tout n >= 1, on observe des vecteurs aléatoires X^n_i tels que

X^n_i = g(U^n_i) + epsilon^n_i, pour i = 1, ..., n,

où les U^n_i sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans [0,1], de support plein. Nous chercherons à estimer l’image de la courbe inconnue g dans ce modèle au moyen de courbes principales empiriques.

Références

G. Buttazzo, E. Oudet, and E. Stepanov. Optimal transportation problems with free Dirichlet regions. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 51 :41 65, 2002.

B. Kégl, A. Krzyzak, T. Linder, and K. Zeger. Learning and design of principal curves. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 22 :281 297, 2000.