Estimation d'erreur pour l'approximation « upwind » des équations de transport multidimensionnelles avec des champs de vitesse présentant des discontinuités

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Résumé : Dans ce travail en collaboration avec François Delarue (Nice) et Nicolas Vauchelet (Paris 6), nous étudions l'ordre d'approximation du schéma décentré amont pour le transport conservatif (équation de continuité) en dimension d'espace quelconque, sur maillage cartésien, pour des champs de vitesse lipschitziens à droite. La difficulté est que ces champs de vitesse peuvent être discontinus et qu'en conséquence les solutions sont des mesures. L'analyse du caractère bien posé repose sur les travaux de Filippov pour les équations différentielles, et de Poupaud et Rascle pour les EDP, dont nous utilisons les outils et les résultats. Notre analyse est basée sur une interprétation probabiliste de l'algorithme (déterministe), dont nous montrons qu'il est l'espérance d'un algorithme aléatoire (ce travail est l'extension d'un résultat obtenu avec François Delarue il y a quelques années pour des champs de vitesse lipschitziens sur maillages quelconques).