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Estimation a priori et existence pour des problèmes elliptiques non linéaires avec des termes sous quadratiques par rapport au gradient
le 5 décembre 2012
14H - Groupe de travail "Applications des Mathématiques"ENS Rennes Bâtiment Sauvy, Salle 5 (rdc)
Séminaire de François Murat (Université Paris 6) au groupe de travail "Applications des mathématiques"
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Résumé : Dans cette exposé, je considérerai le problème modèle $$ - {\rm div} A(x) Du + \alpha_0 u = \gamma |Du|^q + f(x), $$ où $A$ est une matrice coercive à coefficients dans $L^\infty (\Omega)$, $\alpha_0 \geq 0$, $0 \leq q \leq 2$ et $f\in L^m (\Omega)$ pour un $m$ convenable. Dans le cas $0 \leq q < 1$, l'existence est classique pour $f \in H^{-1} (\Omega)$. Le cas $q = 1$ et $f \in H^{-1} (\Omega)$ présente déjà une difficulté notable quand $\gamma$ est grand ; il a été résolu par G. Bottaro et M.E. Marina en 1973. Le cas $q = 2$ a été étudié par L. Boccardo, J.-P. Puel et moi même dans une série d'articles où nous avons démontré l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega) \cap L^\infty (\Omega)$ (et une estimation a priori dans ces espaces) quand $\alpha_0 > 0$ et $f\in L^m (\Omega)$ pour $m > {{N} \over {2}}$ ; nous avons ensuite démontré, V. Ferone et moi, l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega)$ avec ${\rm exp} (\gamma u) \in H^1_0 (\Omega)$ (et une estimation a priori dans ces espaces) quand $\alpha_0 \geq 0$ et $f \in L^{{N} \over {2}} (\Omega)$ (on doit supposer $f$ petit quand $\alpha_0 = 0$). Dans cette conférence, je présenterai le résultat que Nathalie Grenon, Alessio Porretta et moi même avons obtenu : si $1 + ({{2} / {N}}) \leq q <2$ et $f\in L^m(\Omega)$ avec $m = N / q'$ (nous savons aussi traiter le cas $1 < q < 1 +( {{2} / {N}}) $ mais je ne le discuterai pas car il nécessite l'introduction de solutions renormalisées), nous démontrons l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega)$ avec $|u|^\sigma \in H^1_0(\Omega)$ pour $\sigma = {{(N-2) (q - 1)} / {2\, (2 - q)}}$. L'intérêt principal du résultat réside dans l'estimation a priori, dont la démonstration est non standard
Résumé : Dans cette exposé, je considérerai le problème modèle $$ - {\rm div} A(x) Du + \alpha_0 u = \gamma |Du|^q + f(x), $$ où $A$ est une matrice coercive à coefficients dans $L^\infty (\Omega)$, $\alpha_0 \geq 0$, $0 \leq q \leq 2$ et $f\in L^m (\Omega)$ pour un $m$ convenable. Dans le cas $0 \leq q < 1$, l'existence est classique pour $f \in H^{-1} (\Omega)$. Le cas $q = 1$ et $f \in H^{-1} (\Omega)$ présente déjà une difficulté notable quand $\gamma$ est grand ; il a été résolu par G. Bottaro et M.E. Marina en 1973. Le cas $q = 2$ a été étudié par L. Boccardo, J.-P. Puel et moi même dans une série d'articles où nous avons démontré l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega) \cap L^\infty (\Omega)$ (et une estimation a priori dans ces espaces) quand $\alpha_0 > 0$ et $f\in L^m (\Omega)$ pour $m > {{N} \over {2}}$ ; nous avons ensuite démontré, V. Ferone et moi, l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega)$ avec ${\rm exp} (\gamma u) \in H^1_0 (\Omega)$ (et une estimation a priori dans ces espaces) quand $\alpha_0 \geq 0$ et $f \in L^{{N} \over {2}} (\Omega)$ (on doit supposer $f$ petit quand $\alpha_0 = 0$). Dans cette conférence, je présenterai le résultat que Nathalie Grenon, Alessio Porretta et moi même avons obtenu : si $1 + ({{2} / {N}}) \leq q <2$ et $f\in L^m(\Omega)$ avec $m = N / q'$ (nous savons aussi traiter le cas $1 < q < 1 +( {{2} / {N}}) $ mais je ne le discuterai pas car il nécessite l'introduction de solutions renormalisées), nous démontrons l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega)$ avec $|u|^\sigma \in H^1_0(\Omega)$ pour $\sigma = {{(N-2) (q - 1)} / {2\, (2 - q)}}$. L'intérêt principal du résultat réside dans l'estimation a priori, dont la démonstration est non standard
- Thématique(s)
- Recherche - Valorisation
- Contact
- Erwan Faou et Yannick Privat
Mise à jour le 15 décembre 2016
Groupe de Travail "Applications des Mathématiques"
le mercredi à 14H00 en salle 5
Contacts : Erwan Faou et Yannick Privat.
Le groupe de travail propose des exposés centrés autour de l'analyse, l'analyse numérique et le calcul scientifique. L'accent est mis sur une forte interactivité avec les auditeurs.
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