Convergence exponentielle vers l'équilibre de discrétisations d'équations de Fokker-Planck

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Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéressons à des discrétisations en vitesse et en espace d'équations de Fokker-Planck homogènes, puis inhomogènes en espace, ainsi qu'à des versions discrétisées en temps de ces équations. Nous proposons une discrétisation en vitesse qui permet une reformulation du problème, à l'aide d'un état d'équilibre discret, dans un sous-espace hilbertien d'un espace de densités de type $L^1$, comme c'est le cas lorsque l'on considère les versions continues de ces équations. Nous montrons comment l'introduction d'une structure hilbertienne discrète supplémentaire permet, dans le cas homogène puis dans le cas inhomogène, d'adapter les techniques d'hypocoercivité utilisées dans le cas continu, afin de montrer que les solutions convergent exponentiellement vite vers l'état d'équilibre correspondant. Nous traitons les cas non-bornés en vitesse comme les cas bornés en vitesse, ainsi que les cas continus en temps comme discretisés en temps. Nous illustrons nos resultats par des simulations numériques.
Il s'agit d'un travail en commun avec Frederic Hérau (Nantes) et Pauline Lafitte (CentraleSupelec).