Contrôlabilité locale en temps petit de l’équation de Schrödinger bilinéaire, à deux contrôles, grâce à un terme quadratique

Le but de cet exposé est de mieux comprendre les relations entre la contrôlabilité exacte des EDP non linéaires et la théorie du contrôle des EDO, basée sur les crochets de Lie, à travers l'étude de l'EDP de Schrödinger avec contrôle bilinéaire.
Nous nous concentrons sur la contrôlabilité locale en temps réduit (STLC) autour d'un équilibre, lorsque le système linéarisé n'est pas contrôlable. Nous étudions le terme d'ordre 2 dans le développement de Taylor de l'état, par rapport au contrôle.
Pour les EDO avec un seul contrôle scalaire, les termes quadratiques ne permettent jamais de retrouver la contrôlabilité : ils induisent des dérives signées dans la dynamique. Ainsi, pour prouver la STLC, il faut aller au moins jusqu'au troisième ordre. Des résultats similaires ont été prouvés par Mégane Bournissou pour l'EDP bilinéaire de Schrödinger avec contrôle scalaire.

Dans cet exposé, nous nous concentrons sur des systèmes avec plusieurs contrôles scalaires. Nous clarifions, parmi les crochets de Lie quadratiques, ceux qui permettent de récupérer de la contrôlabilité : ils sont bilinéaires par rapport à 2 contrôles différents. Pour les EDO, ce résultat est une conséquence de la condition suffisante de Sussman S(θ), mais nous proposons une nouvelle preuve, conçue à préparer le transfert aux EDP. Cette preuve repose sur une nouvelle formule de représentation de la solution, inspirée de la formule de Magnus. En l'adaptant, nous prouvons un nouveau résultat de STLC pour l'EDP de Schrödinger bilinéaire.