Contrôlabilité globale à zéro de l'équation de la chaleur semilinéaire

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Résumé : On s'intéresse à la contrôlabilité globale à zéro de l'équation de la chaleur semilinéaire. En 2000, Enrique Fernandez-Cara et Enrique Zuazua ont démontré que pour des "faibles" nonlinéarités f(s) ~ |s| log^{\alpha}(1+|s|) (\alpha < 3/2), l'équation est globalement contrôlable à zéro en temps petit : étant donné un temps T>0 arbitrairement petit, pour toute donnée initiale, il existe un contrôle (une force) localisé en espace qui permette d'amener la solution au temps T à zéro. En particulier, leur résultat dit qu'on peut agir de manière localisée dans l'équation pour lutter contre l'explosion en temps fini. Ils ont également démontré que leur résultat est très sensible à la classe de nonlinéarités dans le sens suivant : il existe des nonlinéarités du type f(s) ~ |s| log^{\alpha}(1+|s|) (\alpha > 2) telles qu'on ne puisse pas contrecarrer le blow-up au moyen d'un contrôle localisé. Ceci a donné lieu à la question ouverte : Que se passe t'il pour des nonlinéarités du type f(s) ~ |s| log^{\alpha}(1+|s|) (3/2 <= \alpha <= 2) ? Peut-on empêcher l'explosion ? Ou mieux, peut-on contrôler l'équation globalement à zéro en temps long, en temps petit ? Dans cet exposé, j'apporterai une réponse partielle à ces questions.