Contrôlabilité d'équations sous-elliptiques

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Résumé : Dans cet exposé, nous présentons des résultats de contrôlabilité d'équations d'évolution (ondes, Schrödinger et chaleur). Le problème de la contrôlabilité, qui consiste à amener une solution d'un état initial à un état final en utilisant une force localisée dans un petit ouvert, est lié à celui de l'observabilité, qui consiste à savoir si toutes les solutions de l'équation peuvent être détectées depuis ce petit ouvert.

Les équations considérées ici ont la particularité que le Laplacien que l'on utilise d'habitude pour les écrire est remplacé par un Laplacien sous-elliptique, typiquement le Laplacien du groupe de Heisenberg. Les propriétés de contrôlabilité de ces équations d'évolution sous-elliptiques sont étudiées depuis quelques années, notamment pour l'équation de la chaleur. Ici, nous présenterons plusieurs résultats récents, dont certains ont été obtenus en collaboration avec Clotilde Fermanian Kammerer et Chenmin Sun, qui concernent les équations des ondes et de Schrödinger sous-elliptiques, en faisant appel à des outils divers : géométrie sous-Riemannienne, analyse semi-classique et théorie des représentations.