Contrôle de systèmes non linéaires multi-commandés

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Cette thèse est consacrée à l’étude des relations entre la contrôlabilité exacte des EDP non linéaires et la théorie du contrôle des EDO basée sur les crochets de Lie. Notre analyse est centrée sur la contrôlabilité des systèmes affines en dimension finie et de l’équation de Schrödinger sur un intervalle borné, avec des conditions de bord de Dirichlet et des contrôles bilinéaires. On étudie plus précisément la contrôlabilité locale en temps petit (STLC) autour d’un équilibre lorsque le système linéarisé n’est pas contrôlable en examinant le rôle du terme quadratique du développement de la solution. Nos contributions reposent sur une nouvelle formule de représentation de l’état d’une EDO de type Magnus.

Dans un premier temps, on utilise cette formule et la présence de deux contrôles pour récupérer les directions perdues au linéaire grâce au terme quadratique. On redémontre ainsi un cas particulier de la condition suffisante S(θ) de STLC avec une preuve plus adaptée aux EDP. Nous présentons ensuite un cadre fonctionnel permettant d’observer ce phénomène sur l’équation de Schrödinger.        
Dans un second temps, on montre un résultat d’obstruction à la contrôlabilité sur des systèmes affines à plusieurs contrôles.Sous des hypothèses favorables, on montre que le terme quadratique crée une dérive quantifiée en norme H^–k des contrôles, empêchant la H^2k-STLC, avec k ∈ ℕ*. L’adaptation de ce phénomène (raffiné) à l’équation de Schrödinger constitue une troisième partie.    

Title: Control of multi-control nonlinear systems

Keywords: Control theory, bilinear Schrödinger equation, ODEs, infinite-dimensional systems, small-time local exact controllability, power series expansion.

Abstract:

This thesis investigates the relationship between exact controllability of nonlinear PDEs and control theory of ODEs via Lie brackets. The analysis focuses on affine systems in finite dimensions and the Schrödinger equation with Dirichlet boundary conditions and bilinear controls. It specifically addresses small-time local controllability (STLC) around an equilibrium, examining the role of the quadratic term in the solution when the linearized system is not controllable. The contributions are based on a new Magnus-type representation formula for the state of ODEs.       
In the first part, this formula and the use of two controls recover lost directions through the quadratic term. Actually, we reprove a particular case of the sufficient condition S(θ) of STLC with a proof designed for PDEs. We then give a functional framework to observe this phenomenon on the Schrödinger equation.        
In the second part, an obstruction result to STLC is shown for multi-input control-affine systems. Under appropriate assumptions, the quadratic term induces a drift quantified in the H^–k norm of the controls, preventing H^2k-STLC, with k ∈ ℕ*. The third part adapts this phenomenon to the Schrödinger equation.