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Discipline(s) : Mathématiques

Théorie des groupes

Semestre Semestre 5
Type Obligatoire
Crédits ECTS 6
Volume horaire total 48
Volume horaire CM 24
Volume horaire TD 24

Responsables

Contenu

  1. Groupes, sous-groupes
    Groupes, sous-groupes, théorème de Lagrange, ordre d'un élément. Exemple du groupe diédral.
  2. Homomorphismes et isomorphismes de groupes
    Homomorphismes et isomorphismes de groupes, propriété universelle du groupe (Z,+).
  3. Sous-groupes distingués, groupes quotients
    Sous-groupes distingués, groupes quotients, propriété universelle du quotient. Exemples(Z/nZ). Correspondance entre sous-groupes d'un groupe et d'un de ses quotients.
  4. Produits de groupes
    Groupe produit de sous-groupes. Produits semi-directs.
  5. Groupes cycliques
    Générateurs, sous-groupes, groupe multiplicatif d'un corps fini.
  6. Groupes symétriques
    Conjugué dune permutation, décomposition en cycles disjoints, signature. Groupe alterné.
  7. Actions de groupes
    Orbites, stabilisateurs, formule des classes, formule de Burnside, exemples (groupe agissant sur lui-même ou sur ses parties par translation, par conjugaison), applications (sous-groupe d'indice p minimal, théorème de Burnisde, sous groupes finis de SO(3,R), nombre d'orbites).
  8. Théorème de Cauchy et Sylow
    Applications : classification des groupes d'ordre 12, 30, etc. Groupes définis par générateurs et relations.
  9. Groupes abéliens de type fini

Appartient à

Mise à jour le 8 novembre 2017