Stabilisation d’un système fluide-solide, par la déformation du solide autopropulsé

Dans cet exposé, nous nous intéresserons a la stabilisation a zero (avec un taux de décroissance exponentiel arbitraire) des vitesses d'un système couple fluide-solide, pour lequel le contrôle considéré n'est rien d'autre que la déformation du solide. Cette déformation doit satisfaire a un ensemble de contraintes non linéaires, notamment celles qui confèrent au solide nageur un caractère autopropulsé. Le système considéré couple les équations de Navier-Stokes incompressibles (pour l'état du fluide) avec les lois de Newton (pour la position du solide), a l'aide en particulier de l'égalité des vitesses a l'interface fluide-solide.

Nous prouvons d'abord que le système linéarisé est approximativement contrôlable a 0 pour tout temps T > 0, puis stabilisable a 0 en horizon de temps infini, a l'aide d'un contrôle frontière qui peut être choisi sous la forme d'un opérateur feedback. Ce contrôle frontière peut être obtenu comme la trace d'une déformation solide satisfaisant les contraintes linéarisées. Cette déformation est alors projetée sur une variété regulière qui prend en compte les contraintes non linéaires. Cette méthode permet de décomposer la déformation du solide en deux parties : une qui stabilise la partie linéaire du système, et une résiduelle qui a de bonnes propriétés Lipschitz. Nous prouvons enfin la stabilisation du système non linéaire a l'aide d'une méthode de point fixe contractant, pour des données initiales assez petites.