Phénomène de concentration dans une équation de Lotka-Volterra parabolique : un schéma multi-échelle

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Résumé : On considère l'évolution d'une population structurée en trait phénotypique. La réponse des individus à l'environnement dépend de ce trait, qui est hérité du parent à quelques mutations près. Dans un régime de temps long et de petites mutations, la densité de population se concentre autour de certains traits dominants, qui peuvent évoluer au cours du temps grâce aux mutations. D'un point de vue technique, on effectue une transformation de Hopf-Cole dans le modèle parabolique de départ pour décrire le phénomène de concentration. Le régime asymptotique est alors une équation de Hamilton-Jacobi avec contrainte [G. Barles, B. Perthame, 2008 & G. Barles, S. Mirrahimi, B. Perthame, 2009], pour laquelle l'unicité de la solution n'a été démontrée que récemment [V. Calvez, K.-Y. Lam, 2020]. Une difficulté de ce problème réside dans le manque de régularité de la contrainte, qui peut présenter des sauts. Les résultats de la littérature relatifs aux équations de Hamilton-Jacobi et à leur approximation numérique tombent en défaut en raison de ce manque de régularité.

On propose un schéma pour ce problème, en considérant l'équation dans laquelle la transformation de Hopf-Cole a été effectuée. On montre que le schéma est convergent pour le problème en dehors du régime asymptotique, et qu'il est stable dans la transition vers le régime asymptotique. On montre ensuite que le schéma obtenu dans le régime asymptotique approche bien l'équation de Hamilton-Jacobi contrainte voulue.